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Cálculo Infinitesimal
(Curso 2005-2006)

Código Sigma: 16581
Carácter: Troncal
Curso:
Ciclo:
Cuatrimestre: Anual
Créditos: 15

 
Profesor: Ángel San Miguel Blanco

Objetivos:
Conocer y saber utilizar las propiedades básicas de los números reales y de los números complejos.
Comprender la relación de la noción de derivada como medida de cambio de una función de una o varias variables reales.
Establecer el concepto de integral y su relación con la medida de conjuntos.
Descripción de funciones definidas a través de soluciones de expresiones diferenciales, o a través de integrales o series de funciones.

Evaluación: Cuestiones, trabajo para casa, trabajos en grupo y exámenes parciales.

Programa:

  1. ¿Qué es el Cálculo Infinitesimal?. Números reales: representación, desigualdades y valor absoluto. Funciones elementales, construccion de funciones a partir de funciones elementales. La demostración en Matemática: ideas generales, principio de inducción matemática.
  2. Noción y definición de límite. Teoremas básicos sobre límites. Continuidad: definición, teorema de la función intermedia, teorema del valor medio, teorema de los valores extremos. Método de bisección.
  3. Noción y definición de derivada. Fórmulas de derivación. Regla de la cadena. Derivación implícita. Noción y definición de la diferencial. Aproximación de Newton-
    Raphson.
  4. Teorema del valor medio. Valores extremos locales. Concavidad y puntos de inflexión. Asíntotas, tangentes y cúspides. Trazado de curvas.
  5. Noción y definición de integral definida. Funciones definidas a través de integrales. Teorema fundamental del cálculo integral. Integrales indefinidas. Cambio de variable.
    Teoremas del valor medio para integrales. Aplicaciones: cálculo de áreas, volúmenes, centroides.
  6. Funciones inyectivas; función inversa. Función logaritmo. Función exponencial. Función potencial. Funciones trigonométricas. Funciones hiperbólicas.
  7. Técnicas de integración: integración por partes. Substituciones trigonométricas. Fracciones simples. Integración numérica. Ecuaciones diferenciales; ecuaciones lineales de primer orden.
  8. Concepto de sucesión de números reales. Axioma del extremo superior. Límite de una sucesión. Teoremas básicos del cálculo de límites. Integrales impropias.
  9. Series infinitas. Criterio de la integral. Teoremas de comparación. Criterio de la raíz y criterio del cociente. Convergencia absoluta y condicional; series alternadas.
    Polinomios de Taylor y series de Taylor. Series de potencias. Derivación e integración de series de potencias.
  10. Funciones de varias variables: ejemplos elementales; gráficas; curvas de nivel. Límites y continuidad. Derivadas parciales; igualdad de las derivadas mixtas. Funciones vectoriales
  11. Derivabilidad y gradiente. Gradiente y derivadas direccionales. Teorema del valor medio; regla de la cadena. Rectas y planos tangentes. Valores máximos y mínimos. Máximos y mínimos condicionados. Diferencial de un función.

Bibliografía básica:

  • Calculus de una y varias variables, S.L. Salas, E. Hille & G.J. Etgen, Vols. 1 y 2 (cuarta edición), Reverté, Barcelona, 2003
Bibliografía complementaria:
  • Calculus, vols. 1 y 2, (segunda edición). T. M. Apostol, Editorial Reverté, Barcelona (1973).
  • Cálculo. W. Kitchen, McGraw-Hill. Madrid, (1986).
  • Cálculo Vectorial, (tercera edición). J.E. Marsden y A.J. Tromba. Addison-Wesley Iberoamericana. Wilmington (1988).
  • Calculus. M. Spivak. Reverté. Barcelona (1982).
  • Cálculo Diferencial en Rn. J.A. Abia, J. García y C. Marijuán.Valladolid (1998).
  • De aquí al infinito, I. Stewart, Crítica, 1998.
 
  Última actualización : 20/09/05